Día 131029_1: Geometría proyectiva : Espacio proyectivo
Ejes de coordenadas en posición estándar
- De los dos tipos de orientaciones de los ejes coordenados:
- Mano derecha
- Mano izquierda: Usaremos esta:
- El observador se sitúa en el EJE -Z
- Los ejes de la pantalla coinciden con los ejes coordenados
- Los objetos se sitúan en el EJE +Z
- El Plano proyectivo
- Un punto en el el plano proyectivo P^2 es una recta en R^3 que pasa por (0,0,0)
- Pasamos de un plano en R^2 de coordenadas (x y) al plano P^2 de coordenadas (x y 1)
- (x y t) = ( λx, λy, λz) para cualquier λ dentro de R.
- Para lograr el plano de proyección λ=1, dividiremos por t:
- ( x, y ,t ) = (x/t, y/t, 1)
- Si t = 0, buscaremos el plano λ=1/y, ( x,y,0 )=( x/y, 1, 0 )
- Todo punto del espacio proyectivo P^2 se puede poner (x, y, 1) ó (x, 1, t) ó (1, y, t)
- Es como proyectar el mapa mundi usando cilindros de ejes X, Y o Z.
- El punto (0,0,0) no pertenece a P^2
- El Espacio proyectivo
- Un punto en el espacio proyectivo P^3 es una recta en R^4 que pasa por el origen.
- (x y z t) = ( λx, λy, λz, λt)
- En particular, tomando λ = 1/t: tenemos (x/t, y/t, z/t,1)
- con t distinto de cero (plano del infinito)
- Se suele escribir ( x : y : z : t ) que representa una ristra de puntos en R^4
