Enlace Resolución de sistemas lineales
- Trataremos la resolución de un sistema n ecuaciones con m incónnitas:
f1(x1,x2, . . . ,xm) = 0
f2(x1,x2, . . . ,xm) = 0
...
fn(x1,x2, . . . ,xm) = 0
- En general fi(xj) pueden ser lineales (grado 1) o no.
- La solucionn puede no existir (rectas paralelas), ser única (rectas secantes) o tener infinitas soluciones (intersección de 2 planos)
- Si n es pequeño (n ≤ 3) se pueden resolver a mano (lineales y algunos no lineales), pero para valores grandes es necesario el uso de ordenadores (problemas de ingeniería).
- El sistema de ecuaciones lineales es de la forma
a11·x1 + a12·x2 + . . . + a1m·xm = b1
a21·x1 + a22·x2 + . . . + a2m·xm = b2
...
an1·x1 + an2·x2 + . . . + anm·xm = bn
- Se usa la formulación matricial A·x = b, donde:
A = [[ a11 a12 . . . a1m][a21 a22 . . . a2m]...[an1 an2 . . . anm]]
b =[b1 b2 . . . bn]
- Si la matriz A es cuadrada y det(A) = 0, es invertible y entonces x = (A^−1)·b es la solución al sistema.
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO GRÁFICO
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE CRAMER
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:
Lo representamos en forma de matrices:
Entonces,
e 
pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:
RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE GAUS o ELIMINACIÓN
Método:
- Se plantea la matríz A|b (A ampliada)
- Se eligen los pivotes (elementos de la diagonal)
- Se simplifican las filas, dividiendo por un número.
- Se genera el triangulo de ceros inferior, sumando la fila del pivote por un escalar a la fila del cero.
Inconvenientes:
- Si los los pivotes son cero, hay que reordenar las filas.
- Al usar decimales el error se va incrementando.
RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU
- Su nombre deriva de Lower y Upper, al descomponer la matriz original del sistema en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.
- Pasos:
- Obtener la matriz L y la matriz U
- Resolver el sistema Ly=b para encontrar las incógnitas auxiliares "y"
- Resolver el sistema Ux=Y para encontrar las incógnitas "x"
- Comandos SAGE
- sage: A = matrix([[1, -1, 0],[2, -1, 0],[2, 0, 1]])
- sage: P, L, U = A.LU(pivot=’nonzero’)
- A.LU() devuelve las matrices P, L y U tales que A = PLU.
- pivot puede tomar los valores ’auto’, ’partial’ y ’nonzero’.
FACTORIZACIÓN DIRECTA
- Se emplea el método de Gauss (buscar ceros) para lograr dos matrices del tipo LU
- Coloco al lado de A, la matriz identidad I y le aplico las mismas operaciones de filas, hasta obtener dos matrices LU.
- Si hubiera ceros en la diagonal, no se podría aplicar este método.
FACTORIZACIÓN INDIRECTA o DESCOMPOSICIÓN LU
- Se hacen cambios en las filas usando la matriz de permutación P (1's sudocu)
- Llegamos a que A = P·LU ó PA=LU
