Día 131123 : Geometría Proyectiva : Superficies

SUPERFICIES

Superficies en forma implícita

• F(x, y, z) = 0 para alguna funciónn F : R3 -> R.
• Si F es un polinomio entonces F es una superficie algebraica.
• Los puntos singulares F son aquellos de que verifican que la derivada es cero:

Superficies en forma paramétrica

• S(u,w) = { x(u,w), y(u,w), z(u,w) }
• La superficie esta generada por dos curvas, llamadas curvas paramétricas que se pueden ver fijando un de lo parámetros mostrando la curva del otro parámetro:
• Curva en v fijado w=w0 : Cw0(v) = S(u,w0) 
• Curva en w fijado u=u0 : Cu0(w) = S(u0,w) 
• Los vectores tangentes a las curvas paramétricas en un punto, son las derivadas respecto de uno de los parámetros:
• Vector tangente a Cw0(v) es Su(p0) = dS(u0,w0)/du
• Vector tangente a Cv0(w) es Sw(p0) = dS(u0,w0)/dw
• El plano tangente esta formado por los vectores tangentes a las curvas paramétricas y cualquier vector contenido en el plano es una combinación de los vectores tangentes:

Superficies cuadráticas

Ejemplos de superficies cuadráticas

Superficies de Bézier

Ejemplo de superficie de Bezier de grado 2: n+1=2 : Superficies bilineales

Ejercicio

Superficies Lofted

Superficie de Coons

Superficie curva en general

Superficie que pasa por 16 puntos

Parche de Hermite