Muy importantes en el Diseño Asistido por Ordenador (CAD “Computer Aided Design”)
Muchas construcciones de superficies están hechas a partir de curvas y muchos problemas que aparecen se pueden resolver con curvas.
Formato de las ecuaciones de curvas:
- Curvas Paramétricas
- En el plano R2: C(t) = ( x(t), y(t) )
- En el espacio R3: C(t) = (x(t), y(t), z(t))
- Son buenas para dar valores a t y sacar puntos.
- Permite ver la "velocidad" de la curva (como avanza al aumentar t)
- Curvas implícitas
- En el plano R2: F(x,y) = 0
- En el espacio R3: F(x,y,z) = 0
- Curvas explícita
- y = f(x)
- No son muy útiles en CAD
- A partir de puntos
- Curva interpoladora, haciendo que pase por todos los puntos
- Curva aproximada, ajustando Puntos de control
Métodos de Interpolación
- Dado una colección de n+1 puntos (x0,y0)---(xn,yn)
- Queremos obtener una función polinómica y = f(x) que pase por esos puntos:
Polinomio de Lagrange
Polinomio de Newton
INTERPOLAR:
- Estimar un valor desconocido de una función en un punto, tomando una media ponderada de sus valores conocidos.
Curvas paramétricas
Son tal que las coordenadas x e y de sus puntos depende de un parámetro t:
- Cúspide: C1(t) = (t2, t3) para t en [−1, 1]
- Las funciones de partida x(t)=t^2 , y(t)=t^3 son lisas, pero C1(t) no lo es
- C1(t) tiene un punto singular en (0,0) donde no esta definida la tangente C1' (la derivada)
- Vector Tangente a C(t) es el vector C′(t) = ( x′(t), y′(t) )
- Recta Tangente a C(t) en un punto P es la recta C′(t)t + P
- Triángulo curvo: C2(t) = ( 2·cos(t) + cos(2t), 2·sin(t) − sin(2t) ) para t en [0, 2 ]
- C2 tiene 3 c´uspides en t1 = 0, t2 = 0.261799 y t3 = 0.523599
Curvas de Bézier
- Una curva de Bézier de grado "n" se especifica con una secuencia de n + 1 puntos de control.
- El polígono que une los puntos de control se llama polígono de control.
Curvas de Bézier lineales:
- Dados 2 puntos de control: P0 = (x0, y0) y P1 = (x1y1)
- La recta que los une: B(t) = (1 − t)P0 + tP1, para t en [0, 1]
- es decir ( x(t), y(t) ) = ( (1 − t)·x0 + t·x1, (1 − t)·y0 + t·y1).
- El punto inicial es B(0) = P0 y el punto final es B(1) = P1
Curvas de Bézier cuadráticas
- Dados 3 puntos de control P0, P1 y P2
- La recta que los une: B(t) = (1 − t)^2·P0 + 2·t·(1 − t)·P1 + t^2·P2, para t en [0, 1]
- Tenemos B(0) = P0, B(1) = P2 y el triángulo P0-P1-P2 es el polígono de control.
- Ejemplo: La curva de B´ezier de los puntos P0 = (1, 2), P1 = (4,−1) y P2 = (8, 6) es:
Curvas de Bézier cúbicas
- Son las más usadas
- Dados 4 puntos de control P0, P1, P2 y P3
- La recta que los une:
- B(t) = (1 − t)^3·P0 + 3·t·(1 − t)^2·P1 + 3·t^2·(1 − t)·P2 + t^3·P3, para t en [0, 1]
Curva de Bézier general
Dados n + 1 puntos de control P0, . . . ,Pn,
La Curva de Bézier de grado n-esta definida por su polinomio:
