Día 131212_1 : Métodos Numéricos : Sistemas de Ecuaciones diferenciales

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Consideramos el problema del valor inicial:

• x′ = f (t,x,y)
• y′ = g(t,x,y)
• En [a,b] con
• x(t0) = x0
• y(t0) = y0

Una solución será por tanto un par de funciones x(t) e y(t) que verifican las ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales.
Para resolverlo numéricamente podemos usar por ejemplo el método de Runge-Kutta RK4 para resolver ambas.

Ejemplo: Dado el sistema

• x′ = x +2y
• y′ = 3x +2y
• en [0,0.2] con
• x(0) = 6
• y(0) = 4

Con solución exacta:

• x(t) = 4e4t +2e−t 
• y(t) = 6e4t −2e−t

Usando Sage:  desolve system([ec1, ec2], [y1, y2], ics=[0, 1, 0]), obtenemos la tabla:

En el valor final del intervalo, estamos cometiendo el error

• Error en x : x(0.2) − x10 = 0.0000022
• Error en y : y(0.2) − y10 = 0.0000034

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

En el caso de orden 2 tenemos el problema de valor inicial:

• y′′ = f (t,y,y′) en [a,b] con
• y(t0) = y0
• y′(t0) = u0

Ejemplo: El sistema mecánico de un muelle está representado por

• my′′(t)+cy′(t)+ky(t) = g(t)

donde k es la constante de recuperación, m es la masa y g(t) es una fuerza externa.
Definiendo una función auxiliar u(t), el problema se puede reformular como un sistema de ecuaciones diferenciales de valor inicial:

• y′ = u
• u′ = f (t,y,u)
• en [a,b] con
• y(t0) = y0
• u(t0) = u0

El cual se puede resolver con alguno de los m´etodos que hemos visto hasta ahora.

Ejemplo: Consideramos el problema de valor inicial de segundo orden

• x′′(t)+4x′(t)+5x(t) = 0
• En [0,5] con
• x(0) = 3
• y x′(0) = −5

que es equivalente al sistema

• x′ = u
• u′ = −5x −4u
• en [0,5] con
• x(0) = 3
• u(0) = −5

Usando el método de Runge-Kutta se generan dos sucesiones de puntos {xk} e {uk}, de la que solamente nos interesa {xk}.