Usaremos vectores por ser algebraicos y por su fácil manejo en un ordenador.
Usaremos vectores columna: V = (3,4)T (traspuesta) y la matriz de transformación a la izquierda: V'= [M].V
Operaciones con vectores
Suma, Resta y multiplicación por un escalar
- Suma a+b = (ax+bx, ay+ay)T es conmutativa
- Resta a-b = (ax-bx, ay-ay)T no es conmutativa
- Prod. por escalar 3a = (3·ax,3·bx)
Representación de vectores
- De un punto x1,y1 a un otro punto x2,y1, el vector es: r = (x2-x1, yy-y1)= (Δx, Δy).
- Un vector se define por su magnitud y por su dirección. Da igual donde esté.
Magnitud o módulo
- Dado un vector v=(a,b)T
- | v | = sqr(a^2+b^2)
Normalización
- Los vectores de módulo 1 se llaman unitarios | Vu | = 1
- La normal según un vector se da con vectores unitarios.
- El vector unitario Vu según la dirección de un vector v es: Vu = v / |v|
- Dado un vector v = (a,b,c)T, el vector unitario según su dirección es:
- Vu = (a,b,c) / sqr(a^2+b^2+c^2)
Vectores unitarios
- Los vectores i, j, k forman la base estándar y permiten expresar cualquier vector:
- v=(a,b,c)T en vectores unitarios: v = a.i + b.j + c.k
- Dados dos vectores r y s que forman un angulo θ, el producto escalar es:
- r·s = |r|·|s|·cos θ = rx·sx + ry·sy + rz·sz
- Se usa para calcular el ángulo entre dos vectores:
- cos θ = (rx·sx + ry·sy + rz·sz) / |r|·|s|
- Dos vectores perpendiculares entre sí tienen:
- i·i = j·j = k·k = 1 y los cruzados i·j = i·k = ... = 0
- Al ser perpendiculares : cos θ = 0
- Su producto escalar da 0
Producto vectorial entre dos vectores EL RESULTADO ES UN VECTOR
- Dados dos vectores u y v que forman un angulo θ, el producto vectorial es:
- u x v = |u|·|v|·sen θ = det(ijk,u.xyz,v.xyz)T
- Para calcular el determinate, siendo u(ux,uy,uz) y v(vx,vy,vz)
es decir queda el vector:
w = ( wx, wy, wz)
- El resultado del producto vectorial de dos vectores u y v es otro vector normal a los dos.
Sigue la regla de la mano derecha de u a v
Se usa para el calculo de la normal a una superficie y para el cálculo de áreas
Calculo de áreas
- El área comprendido entre los módulos de dos vectores u y v es:
- Area = |v| · h, siendo "h" la altura de la normal a "v" h = |u| · sen θ
- Area = |v| · |u| · sen θ que es módulo del producto vectorial.
- El área del triangulo que forman dos vectores es la mitad módulo del producto vectorial.
- A.triangulo = | u x v| / 2
