GEOMETRÍA PROYECTIVA
La geometría proyectiva o "de la falsa posición" es una rama de las matemáticas, puramente aritmética, que estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas
En Computación Gráfica el espacio proyectivo se usa como la manera más conveniente de representar el mundo 3D.
Es el contexto adecuado para usar Coordenadas Homogéneas, permitiendo describir cualquier transformación (incluidas las traslaciones!) mediante una matriz.
Las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo.
La representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional. Es decir, un espacio n-dimensional se encuentra representado en coordenadas homogéneas por (n+1) dimensiones, de tal forma que un vector p(x,y,z) vendrá representado por p(wx,wy,z,w), donde w tiene un valor arbitrario y representan un factor de escala.
En coordenadas homogéneas, un punto en 2D se define por tres coordenadas. De tal modo que un punto de dimensiones x, y, se lo representa por la terna: x/w, y/w, 1.
Matemáticamente, las coordenadas x y y se hallan dividiendo los dos primeros números entre el tercero, respectivamente.
En dos dimensiones, su valor se puede encontrar más fácilmente si w=1, por simplificación. En tres dimensiones, suele ocurrir lo mismo w=1.
Básicamente, se trata de ampliar el Plano Euclídeo (en el caso bidimensional) al plano proyectivo, es decir, incluirle los puntos impropios o del infinito. Así, un punto impropio es aquel donde w=0.
Representación del mundo real en 3D
Hay que tener en cuenta que el concepto de paralelismo ¡¡DESAPARECE!!
El paso del mundo real R, R2, R3 al mundo proyectivo P1, P2, P3 sehace añadiendo ”puntos (rectas o planos) en el infinito”.
Tanto R3 como P3 son dos formas alternativas de representar la realidad, solamente que en P3 tenemos este punto, recta o plano extra en el infinito que hay que considerar.
De la misma forma, para representar una imagen plana del mundo 3D a nuestro plano proyectivo, también se hace pasando del espacio proyectivo (3D) al plano proyectivo (2D).
Este es el caso de pasar una imagen situada en el espacio 3D a otra imagen, a través de una cámara.
Es decir, vamos a considerar proyecciones del espacio proyectivo P3 al espacio proyectivo P2 que son
dadas por la Matriz de Cámara P. Para pasar de un plano a otro se usa esta matriz de cámara.
Reconstrucción de escenas 3D
- La recta y plano en el infinito (en P2 y P3 respectivamente) van a jugar un papel importante en saber su una cámara esta calibrada, mediante la cónica absoluta. (Elipse contenida en el plano de proyección del infinito).
- Si una cámara está calibrada podremos calcular ángulos entre los rayos de una proyección directamente desde la imagen en 2D.
- Usando Geometría Proyectiva es posible reconstruir la escena 3D desde una imagen 2D (si conocemos o asumimos ciertos datos: ángulos en la escena, rectas y planos ortogonales,...).
Cónica absoluta
En 2D al representar una parábola y analizar su intersección con el eje x (y=0) obtenemos un punto contenido en el conjunto de números complejos (la recta del infinito).
Parabola: y=x^2+1 -> haciendo y=0 -> x^2=-1
Esto nos da dos soluciones al ser un polinomio de segundo grado.
Haciendo la intersección de dos polinomios de segundo grado, obtendremos cuatro puntos de intersección.
Haciendo la intersección de dos esferas secantes, se obtiene una circunferencia.
Si las dos esferas están separadas, su intersección es una cónica contenida en el plano de infinito, llamada cónica absoluta Ω.
Reconstrucción de escenas a partir de varias imágenes
En el caso de 2 imágenes, calcularemos la Matriz Fundamental F, la cual nos permitirá conocer las 2 matrices de cámara P y P′ y reconstruir la escena 3D.
(coincidencias entre xi -> x′i , entonces F verifica x′Ti Fxi = 0)
En el caso de 3 y 4 vistas, en vez de la Matriz Fundamenta se usan tensores (arrays multidimensionales),
como el tensor trifocal y el cuadrifocal.
Para n vistas se hacen estimaciones.
Representación de objetos
CAD: se ocupa de diseñar, analizar, modificar y optimizar la representación de objetos
Sólidos complejos se pueden definir como unión o resta de bloques básicos (esferas, cilindros, etc...)
Las superficies curvas se representan con PARCHES usando curvas y superficies de Bezier.
La famosa Tetera de Utah (Martin Nevell, 1975) consta de 28
parches cúbicos de Bezier más 4 parches para el fondo.
